Для производства двух видов продукции только трех сортов

Производственная задача линейного программирования

Фабрика выпускает продукцию двух видов: П1 и П2. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются три исходных продукта — А, В, С. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т соответственно. Расходы сырья А, В, С на 1 тыс. изделий П1 и П2 приведены в табл.

Исходный продукт Расход исходных продуктов на 1 тыс. изделий (т) Максимально возможный запас (т)
П1 П2
А
В
С
1
2
1
2
1
0.8
6
8
5

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделия П2 никогда не превышает спроса на изделия П1 более чем на 1 тыс. шт. Кроме того, установлено, что спрос на изделия П2 никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки.
Оптовые цены 1 тыс. шт. изделий П1 равны 3 тыс. руб., 1 тыс. шт. П2 — 2 тыс. шт.
Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

  • Решение
  • Видео решение

В рассматриваемом примере имеем следующее:
Переменные.
Так как нужно определить объёмы производства каждого вида продукции, переменными являются:
X1 — суточный объём производства изделия П1в тыс. шт.;
Х2 — суточный объём производства изделия П2в тыс. шт.

Целевая функция. Так как стоимость 1 тыс. изделий П1 равна 3 тыс. руб., суточный доход от её продажи составит 1тыс. руб. Аналогично доход от реализации Х2 тыс. шт. П2 составит 2Х2 тыс. руб. в сутки. При допущении независимости объёмов сбыта каждого из изделий общий доход равен сумме двух слагаемых — дохода от продажи изделий П1 и дохода от продажи изделий П2.
Обозначив доход (в тыс. руб.) через f(X), можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения X1 и Х2, максимизирующие величину общего дохода:
f(X) = 3X1 + 2X2, Х = (Х1, Х2)
Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход исходных продуктов А, В и С и спрос на изготовляемую продукцию, что можно записать так: Расход исходного продукта для производства обоих видов изделий

Максимально возможный запас данного исходного продукта

Ресурсная задача

Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)

Число единиц продукции, затрачиваемых на изготовление единицы продукции

Запасы ресурсов Р1 Р2 S1 2 3 20 S2 3 – 18 S3 1 4 10

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и Р2 соответственно 2 и 3 д.е. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.
Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через х1, х2 – количество единиц продукции Р1 и Р2 соответственно. Тогда суммарная прибыль F составит 2x1 д.е. от реализации продукции Р1 и 3х2 д.е. от реализации продукции Р2, то есть

F = 2x1 + 3x2. (1)
Поскольку количество ресурсов, необходимых для производства продукции ограниченно, составим систему ограничений по ресурсам. Для изготовления продукции потребуется (2x1 + 3x2) единиц ресурса S1, 3x1 единиц ресурса S2 и (x1 + 4x2) единиц ресурса S3. Так как потребление ресурсов S1, S2, S3 не должно превышать их запасов, 20, 18, 10 единиц, соответственно, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой ограничений неравенств:

(2)
Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции , удовлетворяющий системе ограничений (2), при котором целевая функция (1) принимает максимальное значение.
Задачу об использовании ресурсов можно обобщить на случай выпуска n видов продукции с использованием m видов ресурсов.
Обозначим через x (j = 1, 2,…,n) – число единиц продукции Pj, запланированной к производству; b1 (i = 1, 2,…,m) – запасы ресурсов Si, aij – число единиц ресурса Si, затрачиваемого на изготовление единицы продукции Pj; cj – прибыль от реализации единицы продукции Pj. Тогда экономико-математическая модель задачи в общей постановке примет вид:

(4)
Найти такой план выпуска продукции, удовлетворяющий системе (4), при котором функция (3) принимает максимальное значение.
Замечание. Данную задачу называют ещё задачей определения оптимального ассортимента продукции.

Производственная задача на минимум

Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно найти, сколько продукции и какого вида следует изготовить на станках А и В, чтобы заказ был выполнен в минимальное время.

Решение. Математическая модель задачи.
x1 — изготовлено продукции П1 на станке A, шт.
x2 — изготовлено продукции П1 на станке B, шт.
x3 — изготовлено продукции П2 на станке A, шт.
x4 — изготовлено продукции П2 на станке B, шт.
x5 — изготовлено продукции П3 на станке A, шт.
x6 — изготовлено продукции П3 на станке B, шт.

Задача оптимального производства продукции

Пример №1 . Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II , на производство которых расходуется три вида сырья А, В, и С. Потребность aij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bi соответствующего вида сырья и прибыль cj от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:

Виды сырьяВиды продукцииЗапасы сырья
III
Аa 11 = na 12 = 2b 1 = mn+5n
Вa 21 = 1a 22 = 1b 2 = m+n+3
Сa 31 = 2a 32 = m+1b 3 = mn+4m +n+4
прибыльc 1 = m+3c 2 = n+1
план (ед.)x 1x 2
  1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x1 и x2 единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.
  2. В условиях задачи 1 составить оптимальный план ( x1, x2) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Zmax. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс–методом)
  3. Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль Zmax.

Пример №2 . Фермер может выращивать 4 культуры на площади 80 га. Он уже вложил соглашения на продажу определенной продукции (объем продаж) и может приобрести 250ц минеральных удобрений.
Площадь пропашных культур (подсолнечник, сахарная свекла, картофель, кукуруза) должна быть 20 га.
Затраты труда и удобрений, прибыль с 1 га приведены в таблице 2.
Определить, какие площади следует отвести под каждую культуру, чтобы получить максимальную прибыль.
Разработать экономико-математическую модель и решить задачу.
Выходные данные взять согласно варианту (таблица 2)

Решение.
x1 – площадь под гречку, га; x2 – площадь под ячмень, га; x3 – площадь под просо, га; x4 — площадь под картофель, га
Целевая функция: 140x1 + 110x2 + 120x3 + 380x4 → max
Ограничения по затратам на удобрение
3x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 ≤ 250
Ограничения по объемам продаж
10x1 + 30x2 + 25x3 + 180x4 ≤ 200
Ограничения по площади
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 80
Ограничения по площади пропашных культур
x4 ≤ 20
Итого имеем следующую ЗЛП
3x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 ≤ 250
10x1 + 30x2 + 25x3 + 180x4 ≤ 200
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 80
x4 ≤ 20
x1, x2, x3, x4 ≤ 0
Целевая функция: 140x1 + 110x2 + 120x3 + 380x4 → max

Источник

Лабораторная работа №2. Решение задачи линейного программирования симплекс методом

Задание: Построить математическую модель формирования производства. Определить максимальную прибыль и оптимальный план симплекс методом.

Имеется производство по изготовлению двух видов продукции А и В при имеющемся объеме материалов трех сортов, из которых производится продукция. Исходные данные приведены в таблице.

Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?
Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?
Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?
Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?
Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?
Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?
Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?
Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?

Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?
Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?

Пример выполнения:

Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать только материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется а1 кг материала первого сорта, а2 кг материала второго сорта и а3 кг материала третьего сорта. На изготовление единицы вида В расходуется b1 кг материала первого сорта, b2 кг материала второго сорта, b3 кг материала третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта С1 кг, второго сорта – С2 кг, третьего – С3 кг. От реализации единицы продукции вида А фабрика имеет прибыль m тысяч рублей, а от реализации вида В прибыль составляет n тысяч рублей.

Исходные данные представлены в таблице:

Виды продукции Норма расхода материала на единицу продукции Прибыль на единицу продукции
А
В
Запасы сырья ?

Составим математическую модель:

Пусть x1 количество продукции вида А, x2 количество продукции вида В. Тогда количество материала первого сорта требуемого на изготовление продукции 1 будет 3x1 +2х2 .По условию данной задачи это число не должно превышать 32, следовательно получим первое ограничение 3x1 +2х2 ≤ 32 (1)

4x1 + 5х2 — количество материала второго сорта, требуемое на изготовление продукции 2, которое не должно превышать 48. исходя из этого, получим второе ограничение

Для изготовления продукции 3 необходимо количество материала третьего сорта

x1 + 6х2 , которое по условию данной задачи не должно превышать 40, таким образом получим третье ограничение x1 + 6х2 ≤ 40 (3)

Поскольку х1 и х2 выражают количество выпускаемой продукции, то они не должны быть отрицательными (требования не отрицательности переменных), следовательно

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения х1 и х2, при которых прибыль будет максимальной. Таким образом, 6х1 – прибыль, полученная от реализации продукции вида А, а 11х2 – прибыль, полученная от реализации продукции вида В. Следовательно, прибыль на единицу продукции, которая должна быть максимальной будет иметь следующий вид

F= 6x1 + 11х2 (целевая функция задачи)

Таким образом, математическая модель для данной задачи будет иметь следующий вид системы, состоящей из полученных ограничений:

Источник

Оцените статью